Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3^x}，x≥0\\{e^x}，x＜0\end{array}$，若對(duì)任意的x∈[1-3a，2a-1]，不等式f[a（x+1）-x]≥[f（x）]^a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{2}{5}$，1]．

Answer 1

分析 由1-3a＜2a-1，解得a＞$\frac{2}{5}$；運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）在R上遞增，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得不等式f[a（x+1）-x]≥[f（x）]^a，即為f[a（x+1）-x]≥f（ax），則有a（x+1）-x≥ax，由不等式恒成立思想即可得到a的取值范圍．

解答 解：由1-3a＜2a-1，解得a＞$\frac{2}{5}$；
函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3^x}，x≥0\\{e^x}，x＜0\end{array}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=3^x遞增，
x＜0時(shí)，f（x）=e^x遞增．
x=0時(shí)，f（0）=1，
由函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在R上遞增，
則有不等式f[a（x+1）-x]≥[f（x）]^a，
即為f[a（x+1）-x]≥f（ax），
則有a（x+1）-x≥ax，
即為a≥x在x∈[1-3a，2a-1]上恒成立．
即有a≥2a-1，解得a≤1，
則$\frac{2}{5}$＜a≤1，
故答案為：$（{\frac{2}{5}，1}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的恒成立問題，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．