Question

【題目】對于正整數(shù)集合（,）,如果去掉其中任意一個元素（）之后,剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合,且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”.

(1)判斷集合是否為“和諧集”,并說明理由；

(2)求證：集合是“和諧集”；

(3)求證：若集合是“和諧集”,則集合中元素個數(shù)為奇數(shù).

Answer 1

【答案】(1)不是；理由見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)集合中這5個數(shù)字的特征,可以去掉2即可判斷出集合不是“和諧集”；

(2)集合去掉任意一個元素進(jìn)行分類討論,找到符合題意的兩個集合即可證明集合是“和諧集”；

(3)判斷任意一個元素（）的奇偶性相同,分類討論,可以證明出若集合是“和諧集”,則集合中元素個數(shù)為奇數(shù).

(1)當(dāng)集合去掉元素2時，剩下元素組成兩個集合的交集為空集有以下幾種情況：

,經(jīng)過計算可以發(fā)現(xiàn)每給兩個集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和諧集”；

(2)集合所有元素之和為49.

當(dāng)去掉元素1時,剩下的元素之和為48,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素3時,剩下的元素之和為46,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素5時,剩下的元素之和為44,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素7時,剩下的元素之和為42,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素9時,剩下的元素之和為40,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素11時,剩下的元素之和為38,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素13時,剩下的元素之和為36,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

(3)設(shè)正整數(shù)集合（，）所有元素之和為,由題意可知

均為偶數(shù),因此任意一個元素（）的奇偶性相同.

若是奇數(shù),所以（）也都是奇數(shù),由于,顯然為奇數(shù)；

若是偶數(shù), 所以（）也都是偶數(shù).此時設(shè)（）顯然也是“和諧集”,重復(fù)上述操作有限次,便可以使得各項都為奇數(shù)的“和諧集”,此時各項的和也是奇數(shù),集合中元素的個數(shù)也是奇數(shù),

綜上所述：若集合是“和諧集”,則集合中元素個數(shù)為奇數(shù).