Question

5．已知x，y∈R，m+n=7，f（x）=|x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥（m+n）x；
（Ⅱ）設(shè)$max|{a，b}|=\left\{\begin{array}{l}a\;\;\;（a≥b）\\ b\;\;\;（a＜b）\end{array}\right.$，求F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）≥（m+n）x，可化為|x-1|-|x+1|≥7x，分類討論解不等式f（x）≥（m+n）x；
（Ⅱ）F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}，F(xiàn)≥|x²-4y+m|，F(xiàn)≥|y²-2x+n|，相加，利用絕對值不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f（x）≥（m+n）x，可化為|x-1|-|x+1|≥7x，
x≤-1時，2≥7x，成立；
-1＜x＜1，-2x≥7x，∴-1＜x≤0，
x≥1，-2≥7x，無解，
綜上所述，不等式的解集為{x|x≤0}；
（Ⅱ）∵F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}，
∴F≥|x²-4y+m|，F(xiàn)≥|y²-2x+n|，
∴2F≥|x²-4y+m|+|y²-2x+n|≥|（x-1）²+（y-2）²+m+n-5|=|（x-1）²+（y-2）²+2|≥2，
∴F≥1，即F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}的最小值為1．

點評 本題考查不等式的解法，考查絕對值不等式的運用，屬于中檔題．