Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，-1≤x≤0}\\{{3}^{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，且對(duì)任意的x∈R都有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，若在區(qū)間[-5，1]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx+m恰有5個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{6}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]
• C． （-$\frac{1}{6}$，0]
• D． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{6}$]

Answer 1

分析 求出f（x）的周期，作出f（x）的函數(shù)圖象，令y=mx-m與f（x）在[-5，1]上的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，即可求出m的范圍．

解答 解：∵f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+2）=-$\frac{1}{f（x+1）}$，
∴f（x）=f（x+2），即f（x）的周期為2．
作出f（x）在[-5，1]上的函數(shù)圖象如圖所示：

令g（x）=0得f（x）=mx-m，
則直線y=mx-m與f（x）在[-5，1]上有5個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)直線y=mx-m過點(diǎn)（-3，1）時(shí)，直線y=mx-m與f（x）在[-5，1]上恰好有5個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)-3m-m=1，即m=-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)直線y=mx-m過點(diǎn)（-5，1）時(shí)，直線y=mx-m與f（x）在[-5，1]上恰好有6個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)-5m-m=1，即m=-$\frac{1}{6}$．
∴-$\frac{1}{4}$≤m＜-$\frac{1}{6}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的周期性應(yīng)用，函數(shù)圖象與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，屬于中檔題．