【題目】已知數(shù)列{an+1﹣2an}是公比為2的等比數(shù)列,其中a1=1,a2=4.
(1)證明:數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)記Cn= (n≥2),證明: ( )n< +…+ ≤1﹣( )n﹣1 .
【答案】
(1)解:由已知得an+1﹣2an=(a2﹣2a1)2n﹣1=2n…2分
兩端同除 2n+1得: = ,所以數(shù)列 { }是以首項(xiàng)為 ,公差為 的等差數(shù)列
(2)解:由 (1)知 = n,所以an=n2n﹣1,
Sn=120+221+…+n2n﹣1,
則2Sn=221+222…+(n﹣1)2n﹣1+n2n,
相減得:﹣Sn=120+21+…+2n﹣1﹣n2n,
所以﹣Sn= ﹣n2n,
即Sn=(n﹣1)2n+1
(3)解:Cn=2n﹣2,(n≥2)
∵ = ,
∴ +…+ +…+ = = ﹣ ,
當(dāng)≥2時(shí),∵2n+1﹣2n=2n≥4,∴2n+1﹣4≥2n ,
∴ ,
∴ +…+ +…+ = =1﹣
所以原不等式得證
【解析】(1)由已知得an+1﹣2an=(a2﹣2a1)2n﹣1=2n得: = ,即數(shù)列 { }是等差數(shù)列; (2)由 (1)知 = n,所以an=n2n﹣1 , 利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;(3)Cn=2n﹣2,(n≥2),利用 = 證明即可.
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù) 在(0,+∞)上為增函數(shù),g(x)=f(x)+2
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)對于任意x∈[1,2],都存在x1 , x2∈[1,2],使得f(x)≤f(x1),g(x)≤g(x2),若f(x1)=g(x2),求實(shí)數(shù)t的值;
(3)若2xh(2x)+λh(x)≥0對于一切x∈[1,2]成成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),又是一個(gè)常數(shù),已知或時(shí), 只有一個(gè)實(shí)根,當(dāng)時(shí), 有三個(gè)相異實(shí)根,給出下列命題:
①和有一個(gè)相同的實(shí)根;
②和有一個(gè)相同的實(shí)根;
③的任一實(shí)根大于的任一實(shí)根;
④的任一實(shí)根小于的任一實(shí)根.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線和圓交于兩點(diǎn), 是圓上不同于的任意一點(diǎn).
(1)求圓心的極坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), 已知曲線y=f(x)
在處的切線與直線垂直。
(1) 求的值;
(2) 若對任意x≥1,都有,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),點(diǎn)在曲線上.
(1)求在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的軌跡方程和曲線的普通方程;
(2)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱
(1)求b值;
(2)若f(x)在x=t處取得極小值,記此極小值為g(t),求g(t)的定義域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2+(2﹣a)x. (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)a>0,證明:當(dāng)0<x< 時(shí),f( +x)>f( ﹣x);
(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0 , 證明:f′(x0)<0.
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