Question

【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)在曲線上．

（1）求在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的軌跡方程和曲線的普通方程；

（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1），曲線的普通方程為；（2）.

【解析】試題分析：（1）消參的普通方程，利用轉(zhuǎn)化公式極坐標(biāo)化普通方程；（2）數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為線段上一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離的最大值，注意利用垂線段最短及點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離最大值的求法.

試題解析：（1）由消去參數(shù)，得，

又，∴，

故點(diǎn)的軌跡方程是，

∵，∴，∴，即，

故曲線的普通方程為.

（2）如圖：

由題意可得，點(diǎn)的線段上，點(diǎn)在圓上，

∵圓的圓心到直線的距離，

∴直線與圓相切，且切點(diǎn)為，

易知線段上存在一點(diǎn)，

則點(diǎn)與圓心的連線，與圓的交點(diǎn)滿足取最大值.

即當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)， 取最大值.

∵，

∴的最大值為.