Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S_△ADC=

15 3

2

．
（1）求sin∠DAC；
（2）求AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：利用三角形的面積公式求出sin∠DAC的值，即得sin∠BAC的值，從而求得cos∠BAC的值．利用兩角差的正弦公式求得sin∠ACB=sin（120°-∠BAC）的值．三角形ABC中，利用正弦定理，即可求出AB的長．

解答： 解：（1）∵在△ADC中，已知AC=7，AD=6，S_△ADC=

15 3

2

，
則由S_△ADC=

1

2

•AC•AD•sin∠DAC=

15 3

2

，
∴sin∠DAC=

5 3

14

，
（2）由（1）得 sin∠BAC=

5 3

14

，cos∠BAC=

11

14

．
由于∠ABC=60°，故sin∠ACB=sin（120°-∠BAC）=sin120°cos∠BAC-cos120°sin∠BAC
=

3

2

×

11

14

-(-

1

2

)×

5 3

14

=

4 3

7

．
△ABC中，由正弦定理可得

AB

sin∠ACB

=

AC

sin∠B

，即

AB

4 3 7

=

7

3 2

，解得AB=8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及兩角差的正弦公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．