Question

【題目】設(shè)函數(shù)（）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間時(shí)，無遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間時(shí)，遞減區(qū)間時(shí)；（2）或.

【解析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn)，若不恒成立，求解，即可得出結(jié)論；

（2）有解，即，令，轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可求解.

（1），

當(dāng)時(shí)，恒成立，

當(dāng)時(shí)，，

綜上，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間時(shí)，無遞減區(qū)間，

當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間時(shí)，遞減區(qū)間時(shí)；

（2），

令，原方程只有一個(gè)解，只需只有一個(gè)解，

即求只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍，

由（1）得當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

且，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，原方程只有一個(gè)解，

當(dāng)時(shí)，由（1）得在出取得極小值，也是最小值，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，

原方程只有一個(gè)解，

當(dāng)且

遞增區(qū)間時(shí)，遞減區(qū)間時(shí)；

，當(dāng)，

有兩個(gè)零點(diǎn)，

即原方程有兩個(gè)解，不合題意，

所以的取值范圍是或.