Question

某市司法部門為了宣傳《憲法》舉辦法律知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，隨機(jī)對(duì)該市18～68歲的人群抽取一個(gè)容量為n的樣本，并將樣本數(shù)據(jù)分成五組：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第1組，第2組，…，第5組，繪制了樣本的頻率分布直方圖；并對(duì)回答問(wèn)題情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，結(jié)果如下表所示．

組號(hào)	分組	回答正確的人數(shù)	回答正確的人數(shù)占本組的比例
第1組	[18，28）	5	0.5
第2組	[28，38）	18	a
第3組	[38，48）	27	0.9
第4組	[48，58）	x	0.36
第5組	[58，68）	3	0.2

（1）分別求出a，x的值；
（2）從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人，則第2，3，4組每組應(yīng)各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng)，求：所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由回答對(duì)的人數(shù)：每組的人數(shù)=回答正確的概率，分別可求得要求的值；
（2）由分層抽樣按比例抽取的特點(diǎn)可得各組的人數(shù)；
（3）記抽取的6人中，第2組的記為a₁，a₂，第3組的記為b₁，b₂，b₃，第4組的記為c，列舉可得從6名學(xué)生中任取2名的所有可能的情況，以及其中第2組至少有1人的情況種數(shù)，由古典概型可得概率．

解答： 解：（1）第1組人數(shù)5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…（2分）
第2組頻率為：0.2，人數(shù)為：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，…（4分）
第4組人數(shù)100×0.25=25，所以x=25×0.36=9，…（6分）
（2）第2，3，4組回答正確的人的比為18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4組每組應(yīng)各依次抽取2人，3人，1人．…（9分）
（3）記“所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)”為事件A，抽取的6人中，第2組的設(shè)為a₁，a₂，第3組的設(shè)為b₁，b₂，b₃，第4組的設(shè)為c，則從6名幸運(yùn)者中任取2名的所有可能的情況有15種，它們是：（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，c），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），（a₂，c），（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₁，c），（b₂，b₃），（b₂，c），（b₃，c）．…（11分）
其中第2組至少有1人的情況有9種，他們是：（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，c），（a₂，b₁），
（a₂，b₂），（a₂，b₃），（a₂，c）．  …（13分）
∴P（A）=

9

15

=

3

5

． …（14分）
答：所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率為

3

5

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查列舉法求解古典概型的概率，涉及頻率分布表的應(yīng)用和分層抽樣的特點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題．