Question

已知函數(shù)f（x）=-xln|x|+ax，
（1）若a=1，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞），求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2x

有零點(diǎn)，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-xln|x|+x=

-xlnx+x，x＞0 -xln(-x)+x，x＜0

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在x=1時(shí)取最小值．
（2）當(dāng)x≥1時(shí)f（x）=-xlnx+ax，f′（x）=-lnx+a-1，由此利用分類(lèi)討論思想能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）g(x)=-xln|x|+ax-

1

2x

=0有解，即a=ln|x|+

1

2x2

有解，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，
f（x）=-xln|x|+x=

-xlnx+x，x＞0 -xln(-x)+x，x＜0

，
x＞0時(shí)，f′（x）=-lnx，
∴f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，0）上是增函數(shù)，
∴f（x）在x=1時(shí)取最小值-1．…（4分）
（2）當(dāng)x≥1時(shí)f（x）=-xlnx+ax，
f′（x）=-lnx+a-1，
當(dāng)a≤1時(shí)，f′（x）＜0，
∴[1，+∞）為減區(qū)間，
當(dāng)a＞1時(shí)（1，e^a-1）為增區(qū)間，（e^a-1，+∞）為減區(qū)間…．（7分）
（3）g(x)=-xln|x|+ax-

1

2x

=0有解，
即a=ln|x|+

1

2x2

有解，
設(shè)h(x)=ln|x|+

1

2x2

，h（x）為偶函數(shù)，
只需討論（0，+∞）上有解，
x∈(0，+∞) ，h(x)=lnx+

1

2x2

，
h′(x)=

1

x

-

1

x3

=

1

x

(1-

1

x2

)
x=1為極小值點(diǎn)，
∴h（x）的最小值為

1

2

，∴a≥

1

2

…..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．