Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x-1（e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的極小值；
（Ⅱ）已知

3

2

＜a＜2且f（b）=g（a），f（c）=g（b），證明：a+b+c＞4．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意得h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x+1，則h′（x）=lnx，由此能求出函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的極小值．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出b＞1，c＞1．a(chǎn)-b=h（b）＞h（1）=0，同理，b-c=h（c）＞0，則有1＜c＜b＜a＜2，設(shè)h（x）=

xlnx

x-1

，(1＜x＜2)，則h′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明a+b+c＞4．

解答： （Ⅰ）解：由題意得h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x+1，則h′（x）=lnx，
令h′（x）＞0，得x＞1，令h′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴h（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．
∴函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的極小值為h（1）=0．
（Ⅱ）證明：∵f（b）=f（a），又

3

2

＜a＜2，
∴blnb=a-1＞0，則lnb＞0，得b＞1．
同理由f（c）=g（b），得clnc=b-1＞0，則c＞1．
∵a-b=g（a）-g（b）=f（b）-g（b）=h（b），又b＞1，由（Ⅰ）知a-b=h（b）＞h（1）=0，
同理，b-c=h（c）＞0，則有1＜c＜b＜a＜2，
設(shè)h（x）=

xlnx

x-1

，(1＜x＜2)，則h′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

，
令ω（x）=x-1-lnx，1＜x＜2，
則ω′（x）=

x-1

x

＞0，故ω（x）＞ω（1）=0，
∴h′（x）＞0，h（x）在（1，2）上單調(diào)增加，
∴h（x）＜h（2）=ln4，∴4＜e

e

，
∴h（x）＜ln4＜

3

2

，
又

a-1

b-1

=

blnb

b-1

=h(b)，且1＜b＜2，則

a-1

b-1

=

blnb

b-1

=h(b)＜

3

2

，
同理，

b-1

c-1

=

clnc

c-1

=h(c)＜

3

2

，
則b-1＞

2

3

(a-1)＞

2

3

(

3

2

-1)=

1

3

，
c-1＞

2

3

(b-1)＞

2

3

•

1

3

＞

2

9

，
則a-1+b-1+c-1＞

1

2

+

1

3

+

2

9

=

19

18

＞1，
∴a+b+c＞4．

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．