Question

19．函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}$）-2cos²$\frac{π}{8}$x+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的對(duì)稱軸方程及單調(diào)增區(qū)間；
（3）求f（x）在[0，$\frac{20}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由條件利用f（x）的最小正周期求得f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（3）由條件利用正弦定義域和值域求得f（x）在[0，$\frac{20}{3}$]上的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}$）-2cos²$\frac{π}{8}$x+1=sin$\frac{π}{4}$xcos$\frac{π}{6}$-cos$\frac{π}{4}$xsin$\frac{π}{6}$-cos$\frac{π}{4}$x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{3}{2}$cos$\frac{π}{4}$x=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），
故函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8．
（2）令$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=4k+$\frac{10π}{3}$，可得f（x）的對(duì)稱軸方程為 x=4k+$\frac{10π}{3}$，k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 8k-$\frac{2π}{3}$≤x≤8kπ+$\frac{10π}{3}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[8k-$\frac{2π}{3}$，8kπ+$\frac{10π}{3}$]，k∈Z．
（3）在[0，$\frac{20}{3}$]上，$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，可得sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，故f（x）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換、正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．