Question

5．已知向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$是平面內兩個互相垂直垂直的單位向量，若（5$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{γ}$）•（12$\overrightarrow{β}$-2$\overrightarrow{γ}$）=0，則|$\overrightarrow{γ}$|的最大值是$\frac{13}{2}$．

Answer 1

分析 由題意設$\overrightarrow{α}$=（1，0），$\overrightarrow{β}$=（0，1），$\overrightarrow{γ}$=（x，y），由向量的坐標的運算得到x²-$\frac{5}{2}$x+y²-6y=0，由它的幾何意義求最值．

解答 解：設$\overrightarrow{α}$=（1，0），$\overrightarrow{β}$=（0，1），$\overrightarrow{γ}$=（x，y），
∴5$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{γ}$=5（1，0）-2（x，y）=（5-2x，-2y），
12$\overrightarrow{β}$-2$\overrightarrow{γ}$=12（0，1）-2（x，y）=（-2x，12-2y），
∵（5$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{γ}$）•（12$\overrightarrow{β}$-2$\overrightarrow{γ}$）=0，
∴-2x（5-2x）-2y（12-2y）=0，
∴x²-$\frac{5}{2}$x+y²-6y=0，
即（x-$\frac{5}{4}$）²+（y-3）²=（$\frac{13}{4}$）²，
∴$\overrightarrow{γ}$的在以（$\frac{5}{4}$，3）為圓心，$\frac{13}{4}$為半徑的圓上，所以|$\overrightarrow{γ}$|的最大值是=$\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+{3}^{2}}$+$\frac{13}{4}$=$\frac{13}{2}$，
故答案為：$\frac{13}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的運用；關鍵是坐標化后，利用幾何意義求最值．