Question

14．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且2a₁，a₃-1，a₄+1成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a₂，a₅分別是等比數(shù)列{b_n}的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)，求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，進(jìn)而得到公比q=3，即可得到$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的求和公式即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），
由2a₁，a₃-1，a₄+1成等比數(shù)列，
可得$2{a_1}•（{a_4}+1）={（{a_3}-1）^2}$，
則2（1+3d+1）=（1+2d-1）²，
解得$d=-\frac{1}{2}$（舍去）或d=2，
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得，b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
則等比數(shù)列{b_n}的公比q=3，
于是$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列．
所以T_n=$\frac{{\frac{1}{3}×（1-{{（\frac{1}{3}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{（\frac{1}{3}）^n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．