Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．
（I）證明：BE∥平面ADP；
（II）求直線BE與平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點M，連接EM，AM，推導出四邊形ABEM為平行四邊形，由此能證明BE∥平面ADP．
（Ⅱ）連接BM，推導出PD⊥EM，PD⊥AM，從而直線BE在平面PBD內的射影為直線BM，∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角，由此能求出直線BE與平面PDB所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，取PD中點M，連接EM，AM．
∵E，M分別為PC，PD的中點，∴EM∥DC，且EM=$\frac{1}{2}$DC，
又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，
∴四邊形ABEM為平行四邊形，∴BE∥AM．
∵AM?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥平面ADP．
解：（Ⅱ）連接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，
而EM∥CD，∴PD⊥EM．
又∵AD=AP，M為PD的中點，∴PD⊥AM，
∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，
∴平面BEM⊥平面PBD．
∴直線BE在平面PBD內的射影為直線BM，
∵BE⊥EM，∴∠EBM為銳角，
∴∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角．
依題意，有PD=2$\sqrt{2}$，而M為PD中點，
∴AM=$\sqrt{2}$，進而BE=$\sqrt{2}$．
∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM=$\frac{EM}{BM}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線BE與平面PDB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．