Question

14．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為正方形，E是PA的中點．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接OE，則PC∥OE，由此能證明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）推導出PA⊥BD，BD⊥AC，從而BD⊥平面PAC，由此能證明平面PAC⊥平面BDE．

解答 證明：（Ⅰ）如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OE…（2分）
∵O是AC的中點，E是PA的中點
∴PC∥OE…（3分）
∵OE?平面BDE，PC?平面BDE
∴PC∥平面BDE…（5分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥BD
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
又AC∩PA=A
∴BD⊥平面PAC…（9分）
又BD?平面BDE
∴平面PAC⊥平面BDE…（10分）

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．