Question

10．若函數(shù)f（x）=lg[（1-a²）x²+4（a-1）x+4]值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a滿足的條件．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lg[（1-a²）x²+4（a-1）x+4]的值域?yàn)镽，
∴當(dāng)1-a²=0時(shí)，得a=1或a=-1，
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lg4，函數(shù)的值域?yàn)閧lg4}，不滿足條件．
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lg（4-8x），此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)镽，滿足條件．
當(dāng)a≠±1，
設(shè)y=（1-a²）x²+4（a-1）x+4，
要使函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，
則滿足二次項(xiàng)系數(shù)1-a²＞0，即-1＜a＜1
根的判別式△=16（a-1）²-16（1-a²）≥0，
即2a（a-1）≥0，解得a≥1或a≤0，
∵-1＜a＜1
∴此時(shí)-1＜a≤0．
綜上-1≤a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的值域，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．