Question

已知f（x）=sinx+

3

cosx+2，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并指出此時x的值．
（3）求函數(shù)f（x）在[0，2π]的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin(x+

π

3

)+2，可得函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)sin（x+

π

3

）=1即x+

π

3

=2kπ+

π

2

時，函數(shù)取最大值；
（3）由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

解x的范圍和[0，2π]取交集可得．

解答： 解：（1）化簡可得f(x)=sinx+

3

cosx+2=2sin(x+

π

3

)+2，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π；
（2）當(dāng)sin（x+

π

3

）=1時，f（x）取得最大值4，
此時x+

π

3

=2kπ+

π

2

，解得x=2kπ+

π

6

，k∈Z；
（3）由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈Z，
和[0，2π]取交集可得函數(shù)在[0，2π]的單調(diào)增區(qū)間為：[0，

π

6

]和[

7π

6

，2π]．

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值以及周期性，屬基礎(chǔ)題．