Question

甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，規(guī)則如下：
①連續(xù)競(jìng)猜3次，每次相互獨(dú)立；
②每次竟猜時(shí)，先由甲寫出一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜測(cè)甲寫的數(shù)字，記為b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a-b|≤1，則本次競(jìng)猜成功；
③在3次競(jìng)猜中，至少有2次競(jìng)猜成功，則兩人獲獎(jiǎng)．
（1）求每一次競(jìng)猜成功的概率；
（2）求甲乙兩人玩此游戲獲獎(jiǎng)的概率；
（3）現(xiàn)從6人組成的代表隊(duì)中選4人參加此游戲，這6人中有且僅有2對(duì)雙胞胎，記選出的4人中含有雙胞胎的對(duì)數(shù)為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用古典概型概率計(jì)算公式能求出甲乙兩人一次競(jìng)猜成功的概率．
（2）利用互斥事件概率加法公式能求出甲乙兩人獲獎(jiǎng)的概率．
（3）由題意可知6人中選取4人，雙胞胎的對(duì)數(shù)X取值為0，1，2，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）記事A為“甲乙兩人一次競(jìng)猜成功”，
則P（A）=

6+5×2

C 1 6 • C 1 6

=

4

9

．…（3分）
（2）由（1）可知甲乙兩人獲獎(jiǎng)的概率為
P=

C

2 3

(

4

9

)2(

5

9

)+

C

3 3

(

4

9

)3=

304

729

．…（6分）
（3）由題意可知6人中選取4人，雙胞胎的對(duì)數(shù)X取值為0，1，2…（7分）
P（X=0）=

C 2 2 C 1 2 C 1 2

C 4 6

=

4

15

，…（8分）
P（X=1）=

C 1 2 C 2 2 +C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 4 6

=

10

15

，…（10分）
P（X=2）=

1

C 4 6

=

1

15

…（11分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	4 15	10 15	1 15

…（13分）
∴EX=0×

4

15

+1×

10

15

+2×

1

15

=

4

5

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．