Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-2x+2，此函數(shù)在（1，4）上有零點(diǎn)，則a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先將f（x）=ax²-2x+2在（1，4）內(nèi)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程ax²-2x+2=0在（1，4）內(nèi)有解，然后將a分離出來，利用換元法求出等式另一側(cè)的值域，從而求出a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=ax²-2x+2在（1，4）內(nèi)有零點(diǎn)，
∴方程ax²-2x+2=0在（1，4）內(nèi)有解，
即a=$\frac{2x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，x∈（1，4），
令$\frac{1}{x}$=t∈（$\frac{1}{4}$，1）
則a=2t-2t² t∈（$\frac{1}{4}$，1），
而h（t）=2t-2t²在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，
而h（t）＜h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，h（t）＞h（1）=0，
∴h（t）∈（0，$\frac{1}{2}$），
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，以及參數(shù)分離法的應(yīng)用和二次函數(shù)的值域，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和換元法的運(yùn)用．