Question

19．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，右頂點(diǎn)為（$\sqrt{3}$，0）．
（1）求G的方程；
（2）直線y=kx+1與曲線G交于不同的兩點(diǎn)A，B，若在x軸上存在一點(diǎn)M，使得|AM|=|BM|，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a=$\sqrt{3}$，b²=a²+c²，聯(lián)立解出即可得出橢圓G的方程．
（2）將直線l的方程y=kx+1與橢圓G的方程聯(lián)立化簡(jiǎn)整理可得：（3k²+2）x²+6kx-3=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段AB中點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)、斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a=$\sqrt{3}$，b²=a²+c²，
聯(lián)立解得a=$\sqrt{3}$，c=1，b²=2．
所求橢圓G的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）將直線l的方程y=kx+1與橢圓G的方程聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
 化簡(jiǎn)整理可得：（3k²+2）x²+6kx-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+2}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{3{k}^{2}+2}$．
設(shè)線段AB中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x₀，y₀）．
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-3k}{3{k}^{2}+2}$，y₀=kx₀+1=$\frac{2}{3{k}^{2}+2}$．
設(shè)x軸上M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），使得|AM|=|BM|，
依題意可得：AB⊥MN．
①當(dāng)k=0時(shí)，直線l平行于x軸，易知：此時(shí)M點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，其坐標(biāo)為（0，0）；
②當(dāng)k≠0時(shí)，有k_MN=-$\frac{1}{k}$，∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-m}$=$\frac{\frac{2}{3{k}^{2}+2}}{\frac{-3k}{3{k}^{2}+2}-m}$=$\frac{2}{-3k-m（3{k}^{2}+2）}$=-$\frac{1}{k}$，
從而m=-$\frac{k}{3{k}^{2}+2}$=-$\frac{1}{3k+\frac{2}{k}}$，
而$3k+\frac{2}{k}$≥2$\sqrt{6}$（k＞0），或$3k+\frac{2}{k}$≤-2$\sqrt{6}$（0＞k），
故$-\frac{\sqrt{6}}{12}$≤m＜0或0＜m≤$\frac{\sqrt{6}}{12}$．
綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[-\frac{\sqrt{6}}{12}，\frac{\sqrt{6}}{12}]$．
即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)的取值范圍是$[-\frac{\sqrt{6}}{12}，\frac{\sqrt{6}}{12}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段垂直平分線的性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．