Question

7．已知函數f（x）=|x+1|+ax（x∈R）．
（1）證明：當a＞1時，f（x）在R上是增函數；
（2）若函數f（x）存在兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）=|x+1|+ax=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x-1，x≤-1}\\{（a+1）x+1，x＞-1}\end{array}\right.$，從而由一次函數判斷函數的單調性；
（2）可化為函數y=|x+1|與函數y=-ax的圖象有兩個交點，作圖象，結合圖象解得．

解答 解：（1）證明：∵f（x）=|x+1|+ax=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x-1，x≤-1}\\{（a+1）x+1，x＞-1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，-1]上單增，在（-1，+∞）上單增，
且函數f（x）=|x+1|+ax連續(xù)，
故f（x）在R上是增函數；
（2）∵函數f（x）存在兩個零點，
∴函數y=|x+1|與函數y=-ax的圖象有兩個交點，
作函數y=|x+1|與函數y=-ax的圖象如下，
，
結合圖象可知，-1＜-a＜0，
故0＜a＜1．

點評 本題考查了分段函數的應用及函數的單調性的應用，同時考查了數形結合的思想應用．