Question

12．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左右頂點分別為A（-5，0），B（5，0），點M是橢圓上異于A，B的動點，且直線AM與MB的斜率之積為$-\frac{16}{25}$；
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若拋物線y²=2px（p＞0）的焦點與橢圓C的右焦點重合，求拋物線上的點到直線l：3x+y+2=0的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點M（m，n），利用k_AM•k_BM=-$\frac{16}{25}$及$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，計算，可得橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求出拋物線的方程，利用點到直線的距離公式，結(jié)合配方法，即可求拋物線上的點到直線l：3x+y+2=0的距離的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點M（m，n），
則k_AM•k_BM=$\frac{n}{m+5}•\frac{n}{m-5}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-25}$=-$\frac{16}{25}$，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
∴n²=$\frac{^{2}}{25}$（a²-m²），即$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-25}$=-$\frac{^{2}}{25}$，
∴$\frac{^{2}}{25}$=$\frac{16}{25}$，∴b=4，
∴c=3，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點與橢圓C的右焦點重合，
∴$\frac{p}{2}$=3，∴p=6，
∴拋物線方程為y²=12x
設(shè)拋物線上的點為（x，y），則點到直線l：3x+y+2=0的距離d=$\frac{|3x+y+2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{|\frac{1}{4}（y+2）^{2}+1|}{\sqrt{10}}$，
∴y=-2時，拋物線上的點到直線l：3x+y+2=0的距離的最小值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查求橢圓的離心率，考查拋物線的方程，考查點到直線的距離公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．