Question

16．如圖，四面體ABCD中，AB，BC，CD，BD兩兩垂直，BC=BD=2，點E是CD的中點，異面直線AD與BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，則直線BE與平面ACD所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，設A（0，0，h），根據(jù)異面直線AD與BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$計算h，再求出平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$，則直線BE與平面ACD所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BE}$＞|．

解答 解以BC，BD，BA為坐標軸建立空間直角坐標系如圖：
設AB=h，則A（0，0，h），B（0，0，0），C（2，0，0），D（0，2，0），E（1，1，0）．
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，2，-h），$\overrightarrow{BE}$=（1，1，0），∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$=2，|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{4+{h}^{2}}$，|$\overrightarrow{BE}$|=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BE}|}$=$\sqrt{\frac{2}{4+{h}^{2}}}$．
∵異面直線AD與BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴$\sqrt{\frac{2}{4+{h}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，解得h=4．
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，2，-4），$\overrightarrow{CD}$=（-2，2，0）．
設平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}$=0，即$\left\{\begin{array}{l}{2y-4z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$．令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=4，|$\overrightarrow{n}$|=3，
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴直線BE與平面ACD所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了空間角的計算，通常采用空間向量進行計算．