Question

如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CB，對角線AC與BD交于O，∠ACD=60°，點S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點．
（1）求證：△PQS是等邊三角形；
（2）若AB=8，CD=6，求△PQS的面積；
（3）若△PQS與△AOD的面積比為4：5，求CD：AB的值．

Answer 1

考點：平行線分線段成比例定理

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）由于梯形ABCD是等腰梯形∠ACD=60°，可知△OCD與△OAB均為等邊三角形．連接CS，BP根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知△BCS與△BPC為直角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)可知QS=BP=

1

2

BC，由中位線定理可知，QS=QP=PS=

1

2

BC，故△PQS是等邊三角形；
（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及∠AOD=120°可求出等邊三角形的邊長，從而可得出答案．
（3）設(shè)CD=a，AB=b（a＜b），根據(jù)題意表示出兩面積的比，從而可得出答案．

解答： （1）連接CS
∵ABCD是等腰梯形，且AC與BD相交于O，
∴AO=BO，CO=DO．
∵∠ACD=60°，∴△OCD與△OAB均為等邊三角形．
∵S是OD的中點，∴CS⊥DO．
又SP是△OAD的中位線，∴SP=

1

2

AD=

1

2

BC．
∴SP=PQ=SQ．
故△SPQ為等邊三角形．
（2）作DE⊥AB，垂足為E，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=1，BE=8-1=7，
∴DE=BE•tan60°=7

3

，
在Rt△ADE中，AD=2

37

，
∴PS=PQ=SQ=

37

，
∴S_△PQS=

37 3

4

（3）設(shè)CD=a，AB=b（a＜b），
BC²=SC²+BS²=a²+b²+ab，
∴S_△SPQ=

3

16

（a²+ab+b²），
又△PQS與△AOD的面積比為4：5，S_△AOD=S_△BOC=

3

4

ab，
∴5×

3

16

（a²+ab+b²）=4×

3

4

ab，
即5a²-11ab+5b²=0，
故

CD

AB

=

11- 21

10

點評：本題主要考查等腰梯形及直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理．