Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC=a，以BC為邊向外作正三角形BCD，則AD的最大值為2a．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)BC=2x，由于△BCD是等邊三角形，可得DE=$\sqrt{3}$x，在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$，AD=$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$+$\sqrt{3}$x，設(shè)x=acosθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，利用和差公式可得：AD=2a$sin（θ+\frac{π}{3}）$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)BC=2x，
∵△BCD是等邊三角形，∴DE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$，
則AD=$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$+$\sqrt{3}$x，
設(shè)x=acosθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
則AD=asinθ+$\sqrt{3}acosθ$
=2a$sin（θ+\frac{π}{3}）$，
∵$（θ+\frac{π}{3}）$∈$（\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}）$．
∴$sin（θ+\frac{π}{3}）$≤1，
∴AD≤2a，
因此AD的最大值為 2a．
故答案為：2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式、三角形三邊大小關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．