Question

16．觀察①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$；②sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=$\frac{3}{4}$；③sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=$\frac{3}{4}$，猜想一個(gè)一般的式子，并證明．

Answer 1

分析 觀察所給的等式，寫出結(jié)果sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=$\frac{3}{4}$，再進(jìn)行證明即可．

解答 解：sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=$\frac{3}{4}$．
可以證明此結(jié)論是正確的，證明如下：
sin²α+cos²（30°+α）+sinα•cos（30°+α）
=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos（60°+2α）}{2}$+$\frac{1}{2}$[sin（30°+2α）-sin30°]
=1+$\frac{1}{2}$[cos（60°+2α）-cos2α]+$\frac{1}{2}$sin（30°+2α）-$\frac{1}{2}$
=1+$\frac{1}{2}$[-2sin（30°+2α）sin30°]+$\frac{1}{2}$sin（30°+2α）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$sin（30°+2α）+$\frac{1}{2}$sin（30°+2α）=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查類比推理，考查對(duì)于所給的式子的理解，從所給式子出發(fā)，通過觀察、類比、猜想出一般規(guī)律，不需要證明結(jié)論，該題著重考查了類比的能力．