Question

10．如圖，在一條直路邊上有相距100$\sqrt{3}$米的A、B兩定點，路的一側是一片荒地，某人用三塊長度均為100米的籬笆（不能彎折），將荒地圍成一塊四邊形地塊ABCD（直路不需要圍），經開墾后計劃在三角形地塊ABD和三角形地塊BCD分別種植甲、乙兩種作物，已知兩種作物的年收益都與各自地塊的面積的平方成正比，且比例系數均為k（正常數），設∠DAB=α．
（1）當α=60°時，若要用一塊籬笆將上述兩三角形地塊隔開，現要籬笆150米，問是否夠用，說明理由；
（2）求使兩塊地的年總收益最大時，角α的余弦值．

Answer 1

分析 （1）運用余弦定理，求得BD，再與150比較，即可得到；
（2）運用三角形的面積公式，求得△ABD的面積，求得BD，由等腰三角形的面積公式可得△BCD的面積，再與同角的平方關系，結合配方和二次函數的值域求法，即可得到最大值．

解答 解：（1）在△ABD中，AB=100$\sqrt{3}$，AB=100，∠DAB=60°，
則BD²=100²+（100$\sqrt{3}$）²-2×100×100$\sqrt{3}$×cos60°
=4×100²-100²×$\sqrt{3}$，
即為BD=100$\sqrt{4-\sqrt{3}}$＞150，
則不夠用；
（2）設甲種作物的年收益為y₁，則y₁=kS²_△ABD，
乙種作物的年收益為y₂，則y₁=kS²_△CBD，
總收益為y，y=y₁+y₂，
在△ABD中，S_△ABD=$\frac{1}{2}$×100×100$\sqrt{3}$sinα=
又BD²=100²+（100$\sqrt{3}$）²-2×100×100$\sqrt{3}$×cosα
=4×100²-100²×2$\sqrt{3}$cosα，
△BCD的邊BD上的高為h=$\sqrt{10{0}^{2}-\frac{4×10{0}^{2}-10{0}^{2}×2\sqrt{3}cosα}{4}}$
=50$\sqrt{2\sqrt{3}cosα}$，
則S_△BCD=$\frac{1}{2}$×50$\sqrt{2\sqrt{3}cosα}$×100$\sqrt{4-2\sqrt{3}cosα}$，
即有S=k[$\frac{1}{4}$×100⁴×3sin²α+$\frac{1}{4}$×50²×100²×4$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$cosα）cosα]
=$\frac{1}{4}$×10⁸k（3sin²α-3cos²α+2$\sqrt{3}$cosα）
=$\frac{1}{4}$×10⁸k（-6cos²α+2$\sqrt{3}$cosα+3）
=$\frac{1}{4}$×10⁸k[-6（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{2}$]，
故當cosα=$\frac{\sqrt{3}}{6}$時，兩塊地的年總收益最大，且為$\frac{7}{8}$×10⁸k．

點評 本題考查解三角形的應用題，考查余弦定理和面積公式的運用，同時考查三角函數的化簡和求最值，注意運用二次函數的最值求法，屬于中檔題．