Question

9．已知橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F₁（-1，0）的直線l與橢圓G相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于C點(diǎn)，且點(diǎn)C在線段AB上．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）若|AF₁|=|CB|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓焦距為2c，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）由題意可知直線l斜率存在，可設(shè)直線l：y=k（x+1），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程即可得到所求方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓焦距為2c，
由已知可得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，且c=1，
所以a=2，即有b²=a²-c²=3，
則橢圓G的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由題意可知直線l斜率存在，可設(shè)直線l：y=k（x+1），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$消y，并化簡(jiǎn)整理得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
由題意可知△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
因?yàn)辄c(diǎn)C，F(xiàn)₁都在線段AB上，且|AF₁|=|CB|，
所以$\overrightarrow{A{F_1}}=\overrightarrow{CB}$，即（-1-x₁，-y₁）=（x₂，y₂-y_C），
所以-1-x₁=x₂，即x₁+x₂=-1，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}=-1$，
解得${k^2}=\frac{3}{4}$，即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
所以直線l的方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（x+1）$或$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}（x+1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．