Question

15．已知以F為焦點的拋物線C：y²=2px（p＞0）上的兩點A，B滿足$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，若弦AB的中點到準線的距離為$\frac{16}{3}$，則拋物線的方程為y²=8x．

Answer 1

分析 設直線l的方程代入拋物線方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，即可求得k的值，根據(jù)中點坐標公式求得M的橫坐標，則M到準線的距離d=x+$\frac{p}{2}$=$\frac{8p}{3}$，即可求得d的值，求得拋物線方程．

解答 解：拋物線C：y²=2px的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），
由題意可知直線AB的斜率顯然存在，且不為0，設直線AB的方程y=k（x-$\frac{p}{2}$），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），
$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{p}{2}$-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-$\frac{p}{2}$，y₂），由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，
則$\frac{p}{2}$-x₁=3（x₂-$\frac{p}{2}$），則3x₂+x₁=2p，①
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（k²+2）px+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{{（k}^{2}+2）p}{{k}^{2}}$，②x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，③
由①②解得：x₁=$\frac{{k}^{2}p+6p}{2{k}^{2}}$，x₂=$\frac{{k}^{2}p-2p}{2{k}^{2}}$，
代入③，解得：k²=3，
則x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{5p}{6}$，M到準線的距離d=x+$\frac{p}{2}$=$\frac{4p}{3}$，
∴$\frac{4p}{3}$=$\frac{16}{3}$，解得：p=4，
∴拋物線的方程為y²=8x．
故答案為：y²=8x．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，向量的坐標運算，中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．