Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）試比較（$\frac{n+1}{n}$）ⁿ⁺¹（n∈N^*）與e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$-1+lnx，x＞0的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．由參數(shù)分離和函數(shù)的最值求法，即可得到a的范圍；
（Ⅲ）設(shè)a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ，b_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹，由$\underset{lim}{x→∞}（1+\frac{1}{x}）^{x}$=e，得$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}=e$，$\underset{lim}{n→∞}_{n}=e$，證明數(shù)列{a_n}的單調(diào)遞增；數(shù)列{b_n}的單調(diào)遞減，即可判斷大�。�

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$-1+lnx，x＞0
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=1處f（x）取得極小值，也為最小值，且為0；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．
即為$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{a{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）恒成立．即有$\frac{1}{a}$≤x在[1，+∞）恒成立．
而x≥1，即為$\frac{1}{a}$≤1，
解得a＜0或a≥1；
（Ⅲ）設(shè)a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ，b_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹，
由$\underset{lim}{x→∞}（1+\frac{1}{x}）^{x}$=e，得$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}=e$，$\underset{lim}{n→∞}_{n}=e$，
由a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜（$\frac{（1+\frac{1}{n}）+（1+\frac{1}{n}）+…+（1+\frac{1}{n}）}{n+1}$）ⁿ⁺¹=（$\frac{n+2}{n+1}$）ⁿ⁺¹=a_n+1，
故數(shù)列{a_n}的單調(diào)遞增；
又b_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{（\frac{n}{n+1}）^{n+1}}$=$\frac{1}{（1-\frac{1}{n+1}）^{n+1}}$（令t=-（n+1））
=（1+$\frac{1}{t}$）^t=a_t，
由a_t是關(guān)于t的增函數(shù)，而t是關(guān)于n的減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，
（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜e＜（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹．
故（$\frac{n+1}{n}$）ⁿ⁺¹（n∈N^*）＞e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查數(shù)列的單調(diào)性和運(yùn)用，運(yùn)用重要極限是解題的關(guān)鍵．