Question

16．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l．
（Ⅰ）求證：直線l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直線l上是否存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用中位線，直線平面的平行問題得出l∥BC，根據(jù)直線平面的垂直問題得出BC⊥平面PAC，即可得出直線l⊥平面PAC．
（II）建立坐標系得出平面AEF的法向量，cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{PQ}$＞，cos＜$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{EF}$＞，直線平面，直線的夾角的關系求解即可，sinα=|$\frac{-1}{\sqrt{{y}^{2}+4}}$|，cosβ=|$\frac{-1+4y}{3\sqrt{{y}^{2}+4}}$|，sinα=cosβ．

解答 （I）證明：∵E，F(xiàn)分別為PB，PC中點，
∴BC∥EF，
又EF⊆平面EFA，BC?平面EFA，
∴BC∥平面EFA
又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，
∴l(xiāng)∥BC．
∵AC⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵PA=PC=AC=2，
∴AE⊥PC，
∵AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，
∴BC⊥平面PAC，
∵l∥BC
∴直線l⊥平面PAC，
（II）如圖建立坐標系得出：C（0，0，0），A（2，0，0），
E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（1，0，$\sqrt{3}$），Q（2，y，0）
∴$\overrightarrow{CP}$=（1，0，$\sqrt{3}$）為平面AEF的法向量，$\overrightarrow{EF}$=（0，2，0），$\overrightarrow{PQ}$=（1，y，-$\sqrt{3}$）
∴cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{PQ}$＞=$\frac{-2}{2\sqrt{4+{y}^{2}}}$=$\frac{-1}{\sqrt{{y}^{2}+4}}$，cos＜$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{EF}$＞=$\frac{2y}{2\sqrt{4+{y}^{2}}}$=$\frac{y}{\sqrt{4+{y}^{2}}}$，
設直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角分別為α，β，α+β=$\frac{π}{2}$，
∴sinα=|$\frac{-1}{\sqrt{{y}^{2}+4}}$|，cosβ=|$\frac{y}{\sqrt{4+{y}^{2}}}$|，sinα=cosβ，
即1=|y|，求解y=±1，y=0，A（2，0，0），
存在Q（2，1，0）或Q（2，-1，0），
|AQ|=1．

點評 本題綜合考查了空間直線，平面的位置關系，判斷方法，空間向量解決存在性問題，運用代數(shù)方法求解幾何問題，考查了學生的計算能力．