Question

13．如圖，圓柱OO₁內(nèi)接直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，該三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑，且AB=AA₁．在圓柱OO₁內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)的概率為P
（1）當(dāng)點C在圓周上運動時，求P的最大值；
（2）記平面A₁ACC₁與平面B₁OC所成的角為θ（0°＜θ≤90°），當(dāng)P取最大值時，求sinθ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AC²+BC²=AB²為定值可求出V₁的最大值，從而得到P=$\frac{{V}_{1}}{V}$的最大值，P取最大值時，
（2）OC⊥AB，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出平面A₁ACC₁的一個法向量與平面B₁OC的一個法向量，然后求出兩法向量的夾角從而得到二面角的余弦值，即可求sinθ的值．

解答 解：（1）設(shè)圓柱的底面半徑為r，則AB=AA₁=2r，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為
V₁=$\frac{1}{2}$AC•BC•2r=AC•BC•r，又因為AC²+BC²=AB²=4r²，
所以AC•BC≤$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}}{2}$=2r²，當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=$\sqrt{2}r$時等號成立，
從而V₁≤2r³，而圓柱的體積V=πr²•2r=2πr³，
故P=$\frac{{V}_{1}}{V}$＜$\frac{2{r}^{3}}{2π{r}^{3}}$=$\frac{1}{π}$當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=$\sqrt{2}r$，即OC⊥AB時等號成立，
所以P的最大值是$\frac{1}{π}$．
（2）由（1）可知，P取最大值時，OC⊥AB，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則C（r，0，0），B（0，r，0），B₁（0，r，2r），
因為BC⊥平面A₁ACC₁，所以$\overrightarrow{BC}$=（r，-r，0）是平面A₁ACC₁的一個法向量，
設(shè)平面B₁OC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{O{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{rx=0}\\{ry+2rz=0}\end{array}\right.$，故$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2z}\end{array}\right.$，
取z=1得平面B₁OC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，-2，1），因為0°＜θ≤90°，
所以cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BC}|}$=|$\frac{2r}{\sqrt{5}•\sqrt{2}r}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故sinθ=$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

點評 本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想