Question

已知向量

a

=（1+sin2x，sinx-cosx），

b

=（1，sinx+cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及相應x的值；
（3）若f（θ）=

8

5

，求cos2（

π

4

-2θ）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由數(shù)量積和三角函數(shù)公式可得f(x)=

a

•

b

=1+

2

sin(2x-

π

4

)，由周期公式可得；
（2）由三角函數(shù)的最值可得當2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

（k∈Z）時f(x)max=1+

2

；
（3）由條件可得sin(2θ-

π

4

)=

3 2

10

，由誘導公式和二倍角公式可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（1+sin2x，sinx-cosx），

b

=（1，sinx+cosx），
∴f(x)=

a

•

b

=1+sin2x-cos2x
=1+

2

sin(2x-

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）得當2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

（k∈Z）時f(x)max=1+

2

；
（3）∵f(θ)=

8

5

，∴sin(2θ-

π

4

)=

3 2

10

，
∴cos2(

π

4

-2θ)=cos2(2θ-

π

4

)=1-2sin2(2θ-

π

4

)=

16

25

．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及向量的數(shù)量積和誘導公式，屬基礎題．