Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ACC₁為菱形，∠ACB=90°，AC=BC=2，點D為AC的中點，A₁D⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：A₁B⊥AC₁；
（Ⅱ）設(shè)直線AC₁與A₁D分別交于點M，求三棱錐C₁-MBC的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）通過證明BC⊥AC₁，A₁C⊥AC₁，證出AC₁⊥平面A₁BC，即證AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）利用V三棱錐C1-ABC與V_{三棱錐M-ABC}的關(guān)系，求出V三棱錐C1-MBC的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）∵A₁D⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁D⊥BC；
又∵BC⊥AC，且A₁D∩AC=D，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁；①
又∵四邊形A₁ACC₁為菱形，
∴A₁C⊥AC₁；②
由①②得，AC₁⊥平面A₁BC，
且A₁B?平面A₁BC，
∴AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）∵D是線段AC的中點，∴

AD

A1C1

=

1

2

，
∴

AM

MC1

=

1

2

，即

C1M

C1A

=

2

3

；
∴V三棱錐C1-MBC=V三棱錐C1-ABC-V_{三棱錐M-ABC}
=3V_{三棱錐M-ABC}-V_{三棱錐M-ABC}=2V_{三棱錐M-ABC}
=2×

1

3

×S_△ABC•MD
又S△ABC=

1

2

×2×2=2，
MD=

1

3

×A1D=

1

3

×

3

=

3

3

；
∴V三棱錐C1-MBC=2×

1

3

×2×

3

3

=

4

9

3

．

點評：本題考查了空間中的垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了計算空間幾何體的體積的問題，是中檔題．