Question

【題目】已知函數f（x）=lnx。

（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）求證：當x>0時，f（x）≥l-；

（3）若x-1>alnx對任意x>1恒成立，求實數a的最大值。

Answer 1

【答案】(1) 切線方程為y=x-1;（2）見解析；(3) 實數a的最大值為1.

【解析】試題分析：（1）求導得切線斜率，由點斜式可得切線方程；

（2）令g（x）=f（x）-（1-）=lnx-l+，求導，得函數在（0，1）單調遞減，在（1，+）單調遞增，進而得g（x）≥g（1）=0，從而得證；

（3）設h（x）=x-1-alnx（x≥1），求導得h'（x）=1-=，a≤1時，a>1時，判斷函數的單調性，求解最值推出結論即可．

試題解析：

（1）f'（x）=，f'（1）=1，又f（1）=0，所以切線方程為y=x-1.

（2）由題意知x>0，令g（x）=f（x）-（1-）=lnx-l+.

g'（x）=-=，

令g'（x）==0，解得x=1。

易知當x>l時，g'（x）>0，易知當0<x<l時，g'（x）<0.

即g（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+）單調遞增.

所以g（x）min=g（1）=0，g（x）≥g（1）=0，

即g（x）=f（x）-（1-）≥0，即f（x）≥（1-）.

（3）設h（x）=x-1-alnx（x≥1），依題意，對于任意x>l，h（x）>0恒成立.

h'（x）=1-=，

a≤l時，h'（x）>0，h（x）在[1，+）上單調遞增，

當x>l時，h（x）>h（1）=0，滿足題意.

a>1時，隨x變化，h'（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（1，a）	a	（a，+）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	極小值	↗

h（x）在（1，a）上單調遞減，所以h（a）<h（1）=0，

即當a>1時，總存在h（a）<0，不合題意.

綜上所述，實數a的最大值為1.