Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x²-3x）（a∈R）
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值和極小值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx+x²-3x（x＞0），
$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-3=\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，…（1分）
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	$（0，\frac{1}{2}）$	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴當$x=\frac{1}{2}$時，f（x）取極大值$-{ln2}-\frac{5}{4}$，當x=1時，f（x）取極小值-2．…（5分）
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax-3a=\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}（x＞0）$，
①當a=0時，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，∴f（x）在（0，+∞）遞增；  …（6分）
②當a≠0時，設(shè)方程2ax²-3ax+1=0（*），
（ⅰ）當△≤0，即$0＜a≤\frac{8}{9}$時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增；    …（7分）
（ⅱ）當△＞0，即a＜0或$a＞\frac{8}{9}$時，
方程（*）有兩根：${x_1}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}，{x_2}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$，
若a＜0，則x₂＜0＜x₁，
當x∈（0，x₁）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當x∈（x₁，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）遞減，…（9分）
若$a＞\frac{8}{9}$，則0＜x₁＜x₂，
當x∈（0，x₁），（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，f（x）遞減，…（11分）
綜上，當$0≤a≤\frac{8}{9}$時，f（x）增區(qū)間（0，+∞）；
當a＜0時，f（x）增區(qū)間（0，x₁），減區(qū)間（x₁，+∞）；
當$a＞\frac{8}{9}$時，f（x）增區(qū)間（0，x₁），（x₂，+∞），減區(qū)間（x₁，x₂）．
（其中${x_1}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}，{x_2}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$）．  …（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論思想，是一道中檔題．