9.如圖,PA、PC切⊙O于A、C,PBD為⊙O的割線.
(1)求證:AD•BC=AB•DC;
(2)已知PB=2,PA=3,求△ABC與△ACD的面積之比.

分析 (1)證明△PAB∽△PDA,可得$\frac{PB}{PA}$=$\frac{AB}{AD}$,同理可得$\frac{PB}{PA}$=$\frac{AB}{AD}$,問題得以證明,
(2)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形的面積公式可得$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{P{A}^{2}}{P{B}^{2}}$,問題得以解決.

解答 證明:(1)∵PA是⊙O的切線,
由弦切角定理得∠PAB=∠ADB,
∵∠APB為△PAB與△PAD的公共角,
∴△PAB∽△PDA,
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{AB}{AD}$,
同理$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BC}{CD}$,
又PA=PC,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}$,
∴AD•BC=AB•DC;
(2)由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ABC+∠ADC=π,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin∠ABC,
S△ADC=$\frac{1}{2}$AD•DC•sin∠ADC,
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{AB•BC}{AD•DC}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{D}^{2}}$=$\frac{P{A}^{2}}{P{B}^{2}}$=$\frac{9}{4}$

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì),考查圓冪定理,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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