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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,△ABC為正三角形,AB⊥AD,AC⊥CD,PC= AC,平面PAC⊥平面ABCD.

(1)點E在棱PC上,試確定點E的位置,使得PD⊥平面ABE;
(2)求二面角A﹣PD﹣C的余弦值.

【答案】
(1)解:∵ ,∴PA⊥AC,

又∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,

∴PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD,

以A為坐標原點,射線AB,AD,AP分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,

設PA=2,則 ,

,∴PD⊥AB.

,

若AE⊥PD,則 ,即 ,

即﹣4+λ8=0,得 ,即當E為PC的中點時,AE⊥PD,

則PD⊥平面ABE,

∴當E為PC的中點時PD⊥平面ABE


(2)解:設平面PCD的一個法向量 =(x,y,z), ,

,

,令 ,則z=2,x=1,則

再取平面PAD的一個法向量為 =(1,0,0).

則cos< >= = ,

故二面角A﹣PD﹣C的余弦值為


【解析】由已知可得PA⊥AC,結合面面垂直的性質可得PA⊥AB,PA⊥AD,以A為坐標原點,射線AB,AD,AP分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,求出所用點的坐標.(1)由數量積為0可得PD⊥AB,設 ,再由 求得λ值,則點E的位置確定;(2)求出平面PCD的一個法向量,取平面PAD的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PD﹣C的余弦值.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點,需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能確解答此題.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數f(x)=lnx﹣a(x﹣1),其中a為實數.
(Ⅰ)討論并求出f(x)的極值;
(Ⅱ)在a<1時,是否存在m>1,使得對任意的x∈(1,m)恒有f(x)>0,并說明理由;
(Ⅲ) 確定a的可能取值,使得存在n>1,對任意的x∈(1,n),恒有|f(x)|<(x﹣1)2

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A.
B.
C.
D.

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【題目】已知函數f(x)=,g(x)=,若函數y=f(g(x))+a有三個不同的零點x1,x2,x3(其中x1<x2<x3),則2g(x1)+g(x2)+g(x3)的取值范圍為______

【答案】

【解析】

首先研究函數和函數的性質,然后結合韋達定理和函數的性質求解2gx1)+gx2)+gx3)的取值范圍即可.

由題意可知:,

將對勾函數的圖象向右平移一個單位,再向上平移一個單位即可得到函數的圖象,其圖象如圖所示:

可得

據此可知在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,

繪制函數圖象如圖所示:

的最大值為,

函數yfgx))+a有三個不同的零點,則,

,則

整理可得:,由韋達定理有:.

滿足題意時,應有:,

.

【點睛】

本題主要考查導數研究函數的性質,等價轉化的數學思想,復合函數的性質及其應用等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

型】填空
束】
17

【題目】已知等比數列{}的前n項和為,且滿足2+m(m∈R).

(Ⅰ)求數列{}的通項公式;

(Ⅱ)若數列{}滿足,求數列{}的前n項和

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(1)求角A;
(2)若a=4 ,求b+c的取值范圍.

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【題目】為了探究車流量與的濃度是否相關,現采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數據如表:

時間

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

星期日

車流量(萬輛)

1

2

3

4

5

6

7

的濃度(微克/立方米)

28

30

35

41

49

56

62

(1)求關于的線性回歸方程;(提示數據:

(2)(I)利用(1)所求的回歸方程,預測該市車流量為12萬輛時的濃度;(II)規(guī)定:當一天內的濃度平均值在內,空氣質量等級為優(yōu);當一天內的濃度平均值在內,空氣質量等級為良,為使該市某日空氣質量為優(yōu)或者為良,則應控制當天車流量不超過多少萬輛?(結果以萬輛為單位,保留整數)參考公式:回歸直線的方程是,其中.

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A. B. C. D.

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