【題目】已知橢圓: 過點, 為橢圓的半焦距,且,過點作兩條互相垂直的直線, 與橢圓分別交于另兩點, .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線的斜率為,求的面積;
(3)若線段的中點在軸上,求直線的方程.
【答案】(1);(2)2;(3)或.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)條件列出的方程組,結合即可求得橢圓方程;(2)設方程為,整理方程組,由韋達定理求出點坐標,用用代替,得點坐標,把將代入,得, , 的面積即可求出;(3)設, ,代入橢圓方程整理可得,其中,所以,分和兩種情況,根據(jù),求出的坐標,求得直線方程.
試題解析:(1)因為橢圓: ,過點,
為橢圓的半焦距,且,
所以,且,
所以,解得, ,
所以橢圓方程為.
(2)設方程為,
由整理得,
因為,解得,
當時,用代替,得,
將代入,得, .
因為,所以, ,
所以的面積為.
(3)設, ,
則兩式相減得,
因為線段的中點在軸上,
所以,從而可得,
若,則,
∵,所以,得.
又因為,所以解得,
所以, 或, ,
所以直線方程為.
若,則,
因為,所以,得,
又因為,所以解得或,
經(jīng)檢驗: 滿足條件, 不滿足條件.
綜上,直線的方程為或.
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【題目】甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,該游戲規(guī)則是這樣的:一個質(zhì)地均勻的標有12等分數(shù)字格的轉(zhuǎn)盤(如圖),甲、乙兩人各轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤一次,轉(zhuǎn)盤停止時指針所指的數(shù)字為該人的得分.(假設指針不能指向分界線)現(xiàn)甲先轉(zhuǎn),乙后轉(zhuǎn),求下列事件發(fā)生的概率
(1)甲得分超過7分的概率.
(2)甲得7分,且乙得10分的概率
(3)甲得5分且獲勝的概率.
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【題目】已知拋物線C: 的焦點為F,直線與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且.
(1)求C的方程;
(2)過F的直線與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線與C相較于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一圓上,求的方程.
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【題目】如圖所示,在三棱錐P -ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA90°,APAC,點D,E分別在棱PB,PC上,且BC∥平面ADE.
(Ⅰ)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)若PC⊥AD,且三棱錐P-ABC的體積為8,求多面體ABCED的體積.
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【題目】已知命題p:x∈[1,2],x2≥a;命題q:x∈R,x2+2ax+2﹣a=0,若命題p∧q是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.a≤﹣2或a=1
B.a≤﹣2或1≤a≤2
C.a≥1
D.﹣2≤a≤1
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【題目】己知函數(shù), .
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)設,已知函數(shù)在上是增函數(shù).
(1)研究函數(shù)上零點的個數(shù);
(ii)求實數(shù)c的取值范圍.
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【題目】
如圖,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F,O分別為PA,PB,AC的中點,AC=16,PA=PC=10.
(Ⅰ)設G是OC的中點,證明:FG∥平面BOE;
(Ⅱ)證明:在△ABO內(nèi)存在一點M,使FM⊥平面BOE,并求點M到OA,OB的距離.
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