Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n2(n∈N*)，令b_n=a_na_n+1，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（1）求a_n和S_n；
（2）對任意的正整數(shù)n，不等式S_n＞λ-

1

2

恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計算題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）先求出首項，再將n換成n-1，兩式相減即可得到通項，再由裂項相消求和得到前n項的和；
（2）運用參數(shù)分離，根據(jù)數(shù)列{S_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，即可求出前n項和的最小值，從而得到實數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（1）由于

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n2(n∈N*)，①
當(dāng)n=1時，a₁=1；   
當(dāng)n≥2時，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

=(n-1)2，②
則①-②得

1

an

=2n-1，即an=

1

2n-1

，
綜上，an=

1

2n-1

，n∈N^*；
bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
則S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]，
則Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)．    
（2）由Sn＞λ-

1

2

得λ＜Sn+

1

2

，
所以λ＜(Sn+

1

2

)min，
因為{S_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)n=1時S_n取得最小值為

1

3

，
因此λ＜

5

6

．

點評：本題考查數(shù)列的通項和前n項和的求法，注意將下標(biāo)變換相減法和裂項相消求和，同時考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最值問題，屬于中檔題．