Question

1．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（Ⅰ）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)l與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C：x²+（y-1）²=5，可得圓心C（0，1），半徑為$\sqrt{5}$．求出圓心C到直線l：mx-y+1-m=0的距離d；利用基本不等式的性質(zhì)、比較d與半徑的關(guān)系即可得出．
（Ⅱ）當(dāng)M與P不重合時(shí)，連接CM、CP，則CM⊥MP，利用勾股定理與兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出；
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}$，直線與圓的方程聯(lián)立消去y得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：圓C：x²+（y-1）²=5，可得圓心C（0，1），半徑為$\sqrt{5}$．
∴圓心C到直線l：mx-y+1-m=0的距離d=$\frac{|-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤$\frac{|m|}{|2m|}$=$\frac{1}{2}$$＜\sqrt{5}$．
∴直線l與圓C相交，即直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（Ⅱ）解：當(dāng)M與P不重合時(shí)，連接CM、CP，則CM⊥MP，
∴|CM|²+|MP|²=|CP|²，
設(shè)M（x，y）（x≠1），則x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，
化簡(jiǎn)得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1），
當(dāng)M與P重合時(shí)，x=y=1也滿足上式．
故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是x²+y²-x-2y+1=0．
（Ⅲ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}$，
∴$1-{x}_{1}=\frac{1}{2}（{x}_{2}-1）$，化簡(jiǎn)的x₂=3-2x₁…①
又$\left\{\begin{array}{l}{mx-y+1-m=0}\\{{x}^{2}+（y-1）^{2}=5}\end{array}\right.$消去y得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$   …②
由①②解得${x}_{1}=\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，帶入（*）式解得m=±1，
∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及其判定、基本不等式的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間的距離公式、向量共線定理、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．