Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，且2$\sqrt{2{S}_{n}}$=a_n+2．
（1）求證：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，求證：B_n＜$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）由2$\sqrt{2{S}_{n}}$=a_n+2，可得$8{S}_{n}=（{a}_{n}+2）^{2}$，利用遞推式化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，由于數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，可得a_n-a_n-1=4．再利用等差數(shù)列的定義即可證明．
（2）由（1）可得a_n=4n-2．于是b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”、不等式的性質(zhì)即可證明．

解答 證明：（1）∵2$\sqrt{2{S}_{n}}$=a_n+2，∴$8{S}_{n}=（{a}_{n}+2）^{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，8S_n-1=$（{a}_{n-1}+2）^{2}$，
∴8a_n=$（{a}_{n}+2）^{2}$-$（{a}_{n-1}+2）^{2}$，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
∵數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=4．
當(dāng)n=1時(shí)，8a₁=$（{a}_{1}+2）^{2}$，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4．
（2）由（1）可得a_n=2+4（n-1）=4n-2．
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-2）（4n+2）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n=$\frac{1}{8}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+$…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{8}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{8}$．
∴B_n＜$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．