Question

20．（1）已知a，b，c＞0且a+b+c=1，求證：$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}≤3\sqrt{2}$；
（2）已知n∈N^*，求證：$1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{n}}}≤2\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 （1）運用構(gòu)造向量法，設(shè)$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3a+1}$，$\sqrt{3b+1}$，$\sqrt{3c+1}$），由|$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$|≤|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|，計算即可得證；
（2）運用數(shù)學歸納法證明，注意解題步驟，當n=k+1時，要證的目標是$1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{k}}}+\frac{1}{{\sqrt{k+1}}}＜2\sqrt{k+1}$，當代入歸納假設(shè)后，就是要證明：$2\sqrt{k}+\frac{1}{{\sqrt{k+1}}}＜2\sqrt{k+1}$．

解答 證明：（1）設(shè)$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3a+1}$，$\sqrt{3b+1}$，$\sqrt{3c+1}$），
則|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3（a+b+c）+3}$=$\sqrt{6}$，
由|$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$|≤|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|，
可得$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$≤3$\sqrt{2}$；
（2）①當n=1時，左邊=1，右邊=2．
左邊＜右邊，不等式成立．
②假設(shè)n=k時，不等式成立，即$1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{k}}}＜2\sqrt{k}$．
那么當n=k+1時，$1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{k}}}+\frac{1}{{\sqrt{k+1}}}$$＜2\sqrt{k}+\frac{1}{{\sqrt{k+1}}}=\frac{{2\sqrt{k}\sqrt{k+1}+1}}{{\sqrt{k+1}}}$
$＜\frac{{k+（{k+1}）+1}}{{\sqrt{k+1}}}=\frac{{2（{k+1}）}}{{\sqrt{k+1}}}=2\sqrt{k+1}$，
這就是說，當n=k+1時，不等式成立．
由①、②可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立．

點評 本題考查不等式的證明，考查構(gòu)造向量法和數(shù)學歸納法的證明，屬于中檔題．