Question

已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，（n∈N^*），都在函數(shù)y=log

1

2

x的圖象上．
（1）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項和是Sn=1-(

1

2

)n，設(shè)過點P_n、P_n+1的直線與坐標軸所圍成的三角形面積為c_n，求c_n的最大值；
（3）若存在一個常數(shù)q，使得對任意的正整數(shù)n都有d_n＜q，且

lim

n→∞

dn=q，則稱{d_n}為“左逼近”數(shù)列，q為該數(shù)列的“左逼近”值．若數(shù)列{a_n}的前n項和是Sn=1-(

1

2

)n，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和是B_n，且T_n=

Bn+1

Bn

+

Bn

Bn+1

，A_n=T₁+T₂+…+T_n-2n，試判斷數(shù)列{A_n}是否為“左逼近”數(shù)列，如果是，求出“左逼近”值；如果不是，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的極限

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，結(jié)合函數(shù)y=log

1

2

x，利用等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項，表示出三角形面積c_n，確定其單調(diào)性，即可求c_n的最大值；
（3）求出數(shù)列{b_n}的前n項和B_n，可得T_n=

Bn+1

Bn

+

Bn

Bn+1

，從而可得A_n=T₁+T₂+…+T_n-2n，利用“左逼近”數(shù)列的定義，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）證明：設(shè)b_n+1-b_n=d（常數(shù)），b1=log

1

2

a1⇒a1=(

1

2

)b1≠0
∵點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，（n∈N^*），都在函數(shù)y=log

1

2

x的圖象上，
∴log

1

2

an+1-log

1

2

an=d(常數(shù))⇒log

1

2

an+1

an

=d⇒

an+1

an

=(

1

2

)d＞0(常數(shù))，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）解：∵Sn=1-(

1

2

)n，∴an=(

1

2

)n，
∴bn=log

1

2

an=n，
∴Pn((

1

2

)n，n)，Pn+1((

1

2

)n+1，n+1)，kPnPn+1=

1

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

=-2n+1，
∴y-n=-2n+1[x-(

1

2

)n]，
∴x=0時，y=n+2；y=0時，x=

n+2

2n+1

，
∴cn=

(n+2)2

2n+2

，
∴c_n+1-c_n=

1

2n+3

(1-2n-n2)＜0，
∴c_n+1＜c_n，
∴(cn)max=c1=

9

8

；
（3）解：由（2）知，b_n=n，∴B_n=

n(n+1)

2

，
∴Tn=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2（

1

n

-

1

n+2

）
∴A_n=2（

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＜3
且

lim

n→∞

A_n=3，
∴數(shù)列{A_n}是“左逼近”數(shù)列，“左逼近”值是3．

點評：本題考查等比數(shù)列的定義，考查新定義，考查數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．