Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數(shù)g（x）=f（x）+

1

2

x²-bx．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)g（x）的兩個極值點，若b≥

7

2

，求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出實數(shù)a的值．
（2）），由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x+

1

x

+1-b＜0有解，由此能求出實數(shù)b的取值范圍．
（3）g（x₁）-g（x₂）=ln

x1

x2

-

1

2

（

x1

x2

-

x2

x1

），由此利用構(gòu)造成法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x₁）-g（x₂）的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′（x）=1+

a

x

，
∵f（x）在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|_x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+

1

2

x2-（b-1）x，
∴g′（x）=

x2-(b-1)x+1

x

，x＞0，
由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x+

1

x

+1-b＜0有解，
∵定義域x＞0，
∴x+

1

x

≥2，
x+

1

x

＜b-1有解，
只需要x+

1

x

的最小值小于b-1，
∴2＜b-1，解得實數(shù)b的取值范圍是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+

1

2

x2-（b-1）x，
∴g′（x）=

x2-(b-1)x+1

x

=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1
∴g（x₁）-g（x₂）=ln

x1

x2

-

1

2

（

x1

x2

-

x2

x1

）
∵0＜x₁＜x₂，
∴設(shè)t=

x1

x2

，0＜t＜1，
令h（t）=lnt-

1

2

（t-

1

t

），0＜t＜1，
則h′（t）=-

(t-1)2

2t2

＜0，
∴h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，
又∵b≥

7

2

，∴（b-1）²≥

25

4

，
∵0＜t＜1，∴4t²-17t+4≥0，
∴0＜t≤

1

4

，h（t）≥h（

1

4

）=

15

8

-2ln2，
故所求的最小值為

15

8

-2ln2．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．