Question

18．已知函數(shù)f（x）=ln|x|-x²+ax，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）l為f（x）在x=x₀處的切線，且f（x）圖象上的點(diǎn)都不在l的上方，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的定義域，當(dāng)a=1是求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，寫出單調(diào)區(qū)間即可．
（2）表示出f（x）在x=x₀處的切線，構(gòu)造新的函數(shù)g（x），則由題意知g（x）≤0恒成立，求解即可．

解答 解：（1）定義域為{x|x≠0，x∈R}，當(dāng)x＞0⇒$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1$；當(dāng)x＜0⇒
$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1$．故$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=-\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}=0$⇒${x}_{1}=-\frac{1}{2}，{x}_{2}=1$，
從而f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（-∞，-\frac{1}{2}），（0，1）$．
（2）$f'（x）=\frac{-2{x}^{2}+ax+1}{x}$，l：y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀）
令g（x）=f（x）-f'（x₀）（x-x₀）-f（x₀），由題意，g（x）≤0恒成立．
g'（x）=f'（x）-f'（x₀）=-$\frac{2（x-{x}_{0}）（x+\frac{1}{2{x}_{0}}）}{x}$
x₀＞0時：若x＞0，則g（x）_max=g（x₀），若x＜0，則$g（x）_{max}=g（-\frac{1}{2{x}_{0}}）$
x₀＜0時：若x＞0，則$g（x）_{max}=g（-\frac{1}{2{x}_{0}}）$，若x＜0，則g（x）_max=g（x₀）
綜上，原條件等價于g（x₀）≤0且$g（-\frac{1}{2{x}_{0}}）≤0$，易得g（x₀）=0符合題意．
故$g（-\frac{1}{2{x}_{0}}）≤0$⇒$ln（2{x}_{0}^{2}）+{x}_{0}^{2}-\frac{1}{4{x}_{0}^{2}}≥0$．令t=${x}_{0}^{2}$⇒$ln（2t）+t-\frac{1}{4t}≥0$
設(shè)h（t）=ln（2t）+t-$\frac{1}{4t}$⇒$h'（t）=\frac{（2t+1）^{2}}{4{t}^{2}}＞0$⇒h（t）↑，又$h（\frac{1}{2}）=0$
∴$h（t）≥0=g（\frac{1}{2}）$?$t≥\frac{1}{2}$⇒${\;}x_{0}∈（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}]∪[\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$

點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)小于零或者大于零的問題，屬于難題，在高考中作壓軸題出現(xiàn)．