Question

3．定義：若對定義域D內的任意兩個x₁，x₂（x₁≠x₂），均有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|成立，則稱函數(shù)y=f（x）是D上的“平緩函數(shù)”．則以下說法正確的有（　　）
①f（x）=-lnx+x為（0，+∞）上的“平緩函數(shù)”；
②g（x）=sinx為R上的“平緩函數(shù)”
③h（x）=x²-x是為R上的“平緩函數(shù)”；
④已知函數(shù)y=k（x）為R上的“平緩函數(shù)”，若數(shù)列{x_n}對?n∈N^*總有|x_n+1-x_n|≤$\frac{1}{{{{（2n+1）}^2}}}，則|{k（{x_{n+1}}）-k（{x_1}）}|＜\frac{1}{4}$．

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 對于①②③新定義函數(shù)類型的題目，解答時要先充分理解定義：“平緩函數(shù)”才能答題，對于（1）只需按照定義作差：|f（x₁）-f（x₂）|，然后尋求|f（x₂）-f（x₁）|≤|x₂-x₁|成立的條件．
對于④的解答稍微復雜一些，此處除了用到放縮外，還有添項減項的技巧應用及對數(shù)列拆項求和的充分利用．

解答 解：對于①|f（x₁）-f（x₂）|=|-lnx₁+x₁-（-lnx₂+x₂）|=|ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+x₁-x₂|≤|ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$|+|x₁-x₂|，故均有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|不一定成立，
故f（x）=-lnx+x不為（0，+∞）上的“平緩函數(shù)”，故①錯誤；
對于②設φ（x）=x-sinx，則φ'（x）=1-cosx≥0，則φ（x）=x-sinx是實數(shù)集R上的增函數(shù)，
不妨設x₁＜x₂，則φ（x₁）＜φ（x₂），即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，
則sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁，①
又y=x+sinx也是R上的增函數(shù)，則x₁+sinx₁＜x₂+sinx₂，
即sinx₂-sinx₁＞x₁-x₂，②
由  ①、②得-（x₂-x₁）＜sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁
因此|sinx₂-sinx₁|＜|x₂-x₁|，對x₁＜x₂的實數(shù)都成立，
當x₁＞x₂時，同理有|sinx₂-sinx₁|＜|x₂-x₁|成立
又當x₁=x₂時，不等式|sinx₂-sinx₁|=|x₂-x₁|=0，
故對任意的實數(shù)x₁，x₂∈R均 有|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|
因此 sinx是R上的“平緩函數(shù)，故②正確
對于③取x₁=3，x₂=1，則|h（x₁）-h（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，因此h（x）=x²-x不是R上的“平緩函數(shù)”，故③錯誤，
對于④函數(shù)y=k（x）為R上的“平緩函數(shù)，
則|k（x₂）-k（x₁）|≤|x₂-x₁|，所以|y_n+1-y_n|≤|x_n+1-x_n|，
因為|x_n+1-x_n|≤$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
而|y_n+1-y₁|=|（y_n+1-y_n）+（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+…（y₂-y₁）|
所以|y_n+1-y₁|≤|y_n+1-y_n|+|y_n-1-y_n-2|+…+|y₂-y₁|，
∴|y_n+1-y₁|≤$\frac{1}{4}$[（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）+…+（1-$\frac{1}{2}$）]=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，故④正確．
故選：C．

點評 本題抽象函數(shù)、新定義函數(shù)類型的概念，不等式的性質，放縮法的技巧，對于新定義類型問題，在解答時要先充分理解定義才能答題，避免盲目下筆，遇到困難才來重頭讀題，費時費力，另外要在充分抓住定義的基礎上，對式子的處理要靈活，各個式子的內在聯(lián)系要充分挖掘出來，可現(xiàn)有結論向上追溯，看看需要哪些條件才能得出結果，再來尋求轉化取得這些條件