Question

7．如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，AB=2，AP⊥平面ABC，D為PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）若PA=2，當(dāng)DB與平面PAC所成的角最大時(shí)，求二面角D-AB-C的正切值；
（Ⅱ）若A在平面PBC上的射影為△PBC的重心，求三棱錐P-ABC的外接球的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作BM⊥AC于M，連接DM，則∠BDM為DB與平面PAC所成的角，過(guò)D作DK⊥AC于K，作KG⊥AB于G，連接DG，則∠DGK為二面角D-AB-C的平面角，即可求出二面角D-AB-C的正切值；
（Ⅱ）作PH⊥BC于H，AN⊥PH于N，則PN：NH=2：1，求出AP，延長(zhǎng)AH與球面交于E，求出△ABC外接圓的直徑為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，可得球的直徑，即可求三棱錐P-ABC的外接球的體積．

解答 解：（Ⅰ）作BM⊥AC于M，連接DM，則∠BDM為DB與平面PAC所成的角．
∵tan∠BDM=$\frac{BM}{MD}$，
∴MD⊥PC，即PD：DC=3：1時(shí)，MD最小，∠BDM最大．
過(guò)D作DK⊥AC于K，作KG⊥AB于G，連接DG，
則∠DGK為二面角D-AB-C的平面角，tan∠DGK=$\frac{DK}{KG}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$；
（Ⅱ）作PH⊥BC于H，AN⊥PH于N，則PN：NH=2：1．
設(shè)NH=x，則由△ANH∽△PAH得x=1，PH=3，
∴AP=$\sqrt{6}$．
延長(zhǎng)AH與球面交于E，
∵△ABC外接圓的直徑為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴球的直徑為$\sqrt{A{P}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{102}}{3}$，
∴三棱錐P-ABC的外接球的體積為$\frac{17\sqrt{102}}{27}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角，考查三棱錐P-ABC的外接球的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確做出二面角的平面角是關(guān)鍵．