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10.如圖,四棱錐P-ABCD的側面PAD是正三角形,底面ABCD為菱形,A點E為AD的中點,若BE=PE.
(1)求證:PB⊥BC;
(2)若∠PEB=120°,求二面角A-PB-C的余弦值.

分析 (1)推導出∠EAB=60°,且AD⊥BE,AD⊥PE,從而AD⊥平面PBE,進而AD⊥PB,由此能證明PB⊥BC.
(2)過P作PO⊥平面ABCD,交BE延長線于O,以O為坐標原點,過O作DA的平行線為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角二面角A-PB-C的余弦值.

解答 證明:(1)由BE=PE,AB=PA,AE=AE,得△AEP≌△AEB,
∴∠EAB=60°,且AD⊥BE,
又∵AD⊥PE,
∴AD⊥平面PBE,
∵PB?平面PBE,得AD⊥PB,
又AD∥BC,
∴PB⊥BC.
解:(2)如圖,過P作PO⊥平面ABCD,交BE延長線于O,
以O為坐標原點,過O作DA的平行線為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標系,
P(0,0,$\frac{3}{2}$),B(0,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,0),PB的中占點G(0,$\frac{3\sqrt{3}}{4}$,$\frac{3}{4}$),連結AG,
又A(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0),C(-2,$\frac{3\sqrt{3}}{4}$,0),由此得到$\overrightarrow{GA}$=(1,-$\frac{\sqrt{3}}{4}$,-$\frac{3}{4}$),
$\overrightarrow{PB}$=(0,$\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}$),$\overrightarrow{BC}$=(-2,0,0),
∴$\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{PB}$=0,$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{PB}$=0,
∴$\overrightarrow{GA}⊥\overrightarrow{PB}$,$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{PB}$,
∵$\overrightarrow{GA},\overrightarrow{BC}$的夾角為θ等于所求二面角二面角A-PB-C的平面角,
∴cos$θ=cos<\overrightarrow{GA},\overrightarrow{PB}>$=$\frac{\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{GA}|•|\overrightarrow{BC}|}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.
∴二面角A-PB-C的余弦值為-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.

點評 本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

練習冊系列答案
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